Demostración algebraica del teorema de Pitágoras

Resumen

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo: La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa[1-4]. Esta ecuación permite encontrar la longitud de un lado de un triángulo rectángulo cuando sean conocidos los otros dos lados. El teorema es de fundamental importancia en Geometría Euclidiana donde funciona como la base para la definición de la distancia entre dos puntos. En el presente trabajo se determina el teorema de Pitágoras a través de dividir el área de un cuadrado.


Palabras clave: Teorema de Pitágoras, Área de un cuadrado, Área de un triángulo rectángulo

Abstract

The Pythagorean (or Pythagoras') Theorem is the statement that the sum of (the areas of) the two small squares equals (the area of) the big one. This equation allows you to find the length of a side of a right triangle when they've given you the lengths for the other two sides, and, going in the other direction, allows you to determine if a triangle is a right triangle when they've given you the lengths for all three sides. The theorem is of fundamental importance in Euclidean Geometry where it serves as a basis for the definition of distance between two points. In the present study the Phythagoras´ theorem is determinated through dividing areas of a square.


Keywords: Phythagoras´ theorem, Area of right triangle, Area of square

Introducción

El teorema de Pitágoras es tal vez la relación matemática, que representa cierta complejidad, más identificada por personas que cuentan con una formación básica y que ofrece, al mismo tiempo, un importante valor práctico, teórico y didáctico, tanto en su versión aritmético-algebraica como en su versión geométrica. Que a través del tiempo una gran cantidad de personajes, han dedicado su vida para contribuir a la relación de cálculos que ayuden a encontrar respuestas y resultados exactos con relación entre razones trigonométricas y la relación fundamental para la resolución de triángulos rectángulos [5-6]. El objetivo del presente trabajo es proponer una demostración algebraica del teorema de Pitágoras y su implicación con la trigonometría. Asimismo, tratar que los alumnos sean capaces de fomentar en el alumno un interés claro hacia la geometría y más concretamente con el teorema de Pitágoras.

  1. Deducción del teorema de Pitágoras

 

Partimos de la consideración del área de un cuadrado de lado  como se observa en la Figura 1.

 

Figura 1. Cuadrado de área
(Elaboración propia)

 

Dividiendo el área de la Figura 1, en un cuadrado de lado c y en cuatro triángulos rectángulos de lados a y b respectivamente (ver Figura 2), se tiene:

 

Figura 2. Cuadrado de área  dividido en un cuadrado de área c2 y cuatro triángulos de área ba/2.
(Elaboración propia)

 

Si consideramos el cuadrado de la Figura 1, se tiene que el área se expresa como:

(1)

Asimismo, se tiene que las áreas de la Figura 2, son exactamente igual al área de la Ec. (1), es decir:

(2)
(3)

Por otro lado, se tiene que:

(4)

Desarrollando el lado izquierdo de la Ec. (4), se llega a:

(5)

Finalmente, se llega a la demostración algebraica del teorema de Pitágoras:

(6)

 

  1. Resultados y discusiones

De la Ec. (6) se deducen fácilmente dos corolarios de aplicación práctica:

(7)
(8)

Asimismo, de la Ec. (6), se puede deducir otra importante ecuación al dividir la Ec. (6) entre   con varias implicaciones en Ingeniería Mecánica, es decir:

(9)
(10)

Considerando la Figura 3, se tiene que:

(11)

 

Figura 3. Triángulo rectángulo.
(Elaboración propia)

 

(12)

Sustituyendo las Ecs. (11) y (12) en la Ec. (10), se obtiene la relación seno-coseno:

(13)

La Ec. (13), es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más.

Relación entre la tangente y la secante

 

¿Cómo se obtiene?

La relación se obtiene dividiendo la identidad trigonométrica fundamental (Ec. (13)) entre

(14)
(15)

Relación entre la cosecante y cotangente

 

                                                                                                                                    

¿Cómo se obtiene?

La relación se obtiene dividiendo la identidad trigonométrica fundamental (Ec. (13)) entre

(16)
(17)

Conclusiones

La finalidad de este trabajo fue proponer una nueva deducción algebraica del teorema de Pitágoras (), a partir de dividir el área del cuadrado de lado  () en cinco áreas (un cuadrado de lado  y cuatro triángulos rectángulos idénticos (ver Figura 2). Asimismo, se demostró la implicación del teorema de Pitágoras en la deducción de la identidad trigonométrica fundamental y a partir de ella, es posible deducir al menos 24 identidades trigonométricas [7].

Agradecimientos

El trabajo descrito en el presente artículo fue financiado por la beca otorgada por PRODEP. Asimismo, los autores le agradecen al Ing. Martín Ortiz Granillo, quien es Director de la Escuela Superior de Ciudad Sahagún-UAEH, México, por todas las facilidades para concluir este trabajo de investigación.

Bibliografía

[1] Strathern, P. (1999). Pitágoras y su teorema. Madrid España: Siglo XXI de España editores.

[2] Jiménez Lozano, J. (1995). Teorema de Pitágoras. Universidad de Michigan, USA: Seix Barral.

[3] Sullivan, M. (2006). Algebra y Trigonometría. Naucalpan de Juárez. Edo. México: Prentice-Hall.

[4] Sullivan, M. (1997). Trigonométrica y Geometría analítica. Naucalpan de Juárez. Edo. México: Prentice-Hall.

[5] Bergua, Juan B. (1995). Pitágoras. Madrid, España: Imprenta Fareso, S. A.

[6] Sánchez, M. J. (2012). Pitágoras, el teorema de Pitágoras: un secreto encerrado en tres paredes. Barcelona, España: RBA Coleccionables, S.A.

[7] Smith, S. A. (2001). Algebra. Naucalpan de Juárez, Edo. de México: Prentice-Hall.


[a] Profesor Investigador de la Escuela Superior de Ciudad Sahagún en la Lic. En Ing. Mecánica-Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo

[b] [Alumno de la Escuela Superior de Ciudad Sahagún en la Lic. En Ingeniería Mecánica de la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo