Errores algebraicos más comunes que cometen los alumnos de bachillerato

Resumen

El presente artículo se refiere a la identificación de los errores más comunes que cometen los estudiantes de bachillerato al realizar procedimientos algebraicos en los diferentes temas de su formación en el área de matemáticas.


Palabras clave: Error, concepto, procedimiento, matemática.

Abstract

The present article refers to the identification of the most common mistakes that the students of high school commit doing algebraic procedures in different topics of their formation in the mathematics area.


Keywords: Error, concept, procedure, Math.

No hay fuentes últimas de conocimiento, todo conocimiento es humano; la matemática es la ciencia fundamental para comprender otras disciplinas de tipo científico. Desde la más remota antigüedad, el concepto de matemáticas se identificó con el de ciencia de los números y de las figuras. Ninguna otra disciplina posee, como las matemáticas en un grado tan profundo y preciso el factor de la abstracción. Esta característica ha permitido el desarrollo de las matemáticas en dos planos diferenciados, uno como ciencia en sí misma y otro, quizás el más importante, como ciencia auxiliar fundamental en otras disciplinas. El conocimiento está mezclado con nuestros errores y prejuicios, hay que aceptar que el error forma parte en la adquisición del conocimiento.

La crítica constante de la presencia del error nos permite someter a prueba nuestros conocimientos mediante el diagnóstico, detección, corrección y superación de los mismos.

Debido a que los errores son datos objetivos encontrados permanentemente en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, se realiza el presente artículo para dar a conocer desde mi propia perspectiva y experiencia docente, los errores algebraicos más comunes que cometen los estudiantes de bachillerato.

Sobre la problemática de la enseñanza de la matemática se han escrito infinidad de artículos, libros, existen multitud de puntos de vista y se han efectuado muy diversas investigaciones, sin embargo el problema está latente. Los maestros nos desesperamos porque los alumnos continúan sin poder entender para que se les dan tantos conceptos y reglas sin sentido desde su punto de vista, es incuestionable que los maestros tenemos que buscar nuevas alternativas que permitan ver de manera diferente las acciones dentro de la clase.

Es muy común entre los maestros el sentimiento de frustración, cuando después de una clase en la que aparentemente todo mundo entendió, al día siguiente casi nadie recuerde nada o en su defecto cuando se tiene que aplicar un concepto previamente estudiado, no se puede utilizar o aplicar. Definitivamente algo está pasando, el conocimiento no fue relevante.

El uso de los errores para el desarrollo del pensamiento matemático

Eduardo Mancera Martínez, en su libro “Errar es un placer”, nos refiere que los errores son fuente de conocimiento que podemos explotar para profundizar en el pensamiento matemático, la matemática en particular, ha podido avanzar gracias a los errores cometidos por diversos personajes, recordemos que grandes matemáticos como Diofanto, Stevin, Descartes, Mc Laurin, Euler, D’Alambert, Carnot, Laplace e incluso Cauchy rechazaron como válidos a los números negativos. En los errores existe una fuente inagotable de conocimiento que para aprovecharla debe ser atendida, no rechazada, incluso en los errores encontramos un aspecto motivacional importante dado que a veces implican aspectos simpáticos e ingeniosos.

Procedimientos y resultados

Puede darse el caso de que con procedimientos inapropiados se obtenga un buen resultado, pero también es posible que con procedimientos correctos se obtengan resultados incorrectos.

Los errores y las situaciones didácticas

Hemos visto que los errores más que un estorbo para el desarrollo del pensamiento matemático, permiten el progreso. También pueden ser de utilidad para “sacarle jugo” a nuestro conocimiento matemático, dado que al considerarlos como un problema matemático se estimula nuestra percepción matemática. Tradicionalmente los maestros deseamos observar en el trabajo de nuestros alumnos y alumnas muestras de nuestro esfuerzo en la tarea de enseñar, deseamos constatar que hemos realizado un buen trabajo como docentes y que el alumno ha asimilado los conocimientos y los conceptos adecuadamente, tanto que aprendió a dar las respuestas que esperamos de ellos. Si esto sucede decimos “¡Qué buen alumno es este chico!”. Cuando se les enseña un tema ellos tratan de entenderlo a su modo con lo que realmente poseen, no con lo que consideramos que deben poseer, están elaborando interconexiones entre lo que se les presenta y lo que ellos entienden, es un paso intermedio entre lo que se quiere que comprendan y lo que ellos pueden comprender, pero cuando ellos resuelven un ejercicio o problema proceden de maneras “raras” y uno se inquieta y comenta para sí mismo “no están poniendo atención”.

Esos procedimientos raros en los estudiantes son muestras de un esfuerzo por tratar de entender, son rastros de que desean recorrer el camino pero que sus propias posibilidades los hacen avanzar más lento o detenerse en asuntos que no les quedan del todo claros.

Para reconocer dichos errores se ha recurrido a la utilización de instrumentos y técnicas de investigación y de evaluación en los diferentes cursos de matemáticas tales como Álgebra, Geometría y Trigonometría, Geometría Analítica, Cálculo Diferencial y Cálculo Integral.

La importancia de ser un investigador activo es fundamental, ya que es prácticamente imposible enseñarle a un alumno o alumna a hacer algo que su maestro no hace y si él no investiga, el alumno no aprenderá a investigar.

Errores

  1. 1. Cuando a un polinomio le antecede un signo negativo, todos los signos del polinomio cambian. Es muy común ver que los estudiantes sólo cambian el signo del primer término del polinomio.
  2. 2. Multiplicación de monomios con el mismo coeficiente y diferente parte literal. Algunos estudiantes sólo multiplican la parte literal pero conservan el mismo coeficiente.
  3. 3. Jerarquía de operaciones. El error que comenten comúnmente algunos estudiantes es el realizar las operaciones sin respetar la jerarquía.
  4. 4. Cuando en una fracción algebraica formada por un polinomio en el numerador y un monomio en el denominador, se puede expresar cada término del numerador entre el denominador monomio. Al presentar a los estudiantes el caso contrario, algunos deciden expresar cada término del denominador, con el mismo numerador lo cual es un error común.
  5. 5. Suma o resta de fracciones algebraicas. Suele suceder que algunos estudiantes suman los numeradores y también los denominadores directamente, sin buscar el mínimo común múltiplo.
  6. 6. Leyes de los exponentes. Existe confusión entre los estudiantes al resolver operaciones con expresiones algebraicas donde tienen que aplicar las leyes de los exponentes. Con frecuencia confunden la potencia de potencia con la multiplicación. Comúnmente al querer elevar al cuadrado o al cubo, o a otra potencia mayor que uno un monomio que tiene coeficiente mayor que 1, sólo elevan a la potencia indicada la parte literal.
  7. 7. Raíz cuadrada de una expresión algebraica. No existe la raíz cuadrada de un número negativo, ya que nos estamos refiriendo a un número imaginario, sin embargo para algunos alumnos es muy fácil omitir el signo y escribir el resultado de la raíz cuadrada con signo positivo, además frecuentemente también quieren obtener la raíz cuadrada del exponente de la parte literal que está dentro de la expresión algebraica
  8. 8. El desarrollo de un binomio al cuadrado es un trinomio cuadrado perfecto. Este es el caso de un error muy común que la mayoría de los estudiantes cometen, elevan al cuadrado cada término del binomio omitiendo la regla.
  9. 9. El desarrollo de un binomio al cubo es un cuatrinomio cubo perfecto. Igual que el caso anterior comúnmente algunos estudiantes tienen la creencia de que se resuelve elevando al cubo cada término del binomio.
  10. 10. Raíz cuadrada de un polinomio. Generalmente el error que cometen los alumnos y alumnas es separar cada término del polinomio con su raíz cuadrada.
  11. 11. Raíz cuadrada de un binomio en el que cada término está elevado al cuadrado. La creencia de que se puede obtener la raíz cuadrada de cada término por separado es muy común entre los estudiantes.

Los anteriores no son todos los errores que he podido identificar en los alumnos y alumnas, pero sí los más frecuentes.

En este punto quiero retomar la actividad 8 del Módulo II del Diplomado en competencias cuyo propósito fue determinar las estrategias de enseñanza y aprendizaje adecuados para el logro de los objetivos de aprendizaje planteados, en la que se analizó la lectura del capítulo 5 de Biggs “La buena enseñanza: principios y práctica” el siguiente, es un párrafo de la lectura: Utilizar el error de forma constructiva.- Mediante la evaluación formativa se puede descubrir cuáles son las interpretaciones erróneas que hay que corregir. Hay que sondear los conocimientos de los estudiantes a medida que se construyen. Si creen que se les puede calificar por el resultado, estarán muy a la defensiva. El objetivo es que los estudiantes planteen preguntas e investiguen las respuestas verosímiles a un problema dado. A algunos profesores les resulta violento llamar la atención sobre los errores de los estudiantes y dejan sin corregir o, incluso, sin cuestionar ciertas concepciones erróneas. Una técnica consiste en sonreír de un modo alentador y decir: “Sí, no está mal. ¿Alguien puede explicar esta cuestión con más detalle?”. La “investigación difícil” (Hess y Azuma, 1991) tiene como centro de interés la investigación del error de un estudiante concreto, así el estudiante que cometió el error se vuelve el centro de corrección pública y no lo considera como un castigo, sino como una parte más del aprendizaje.

Referencias

Biggs, J. (2005). Calidad del aprendizaje universitario. España. Narcea Ediciones. Cap. 5.

De la Torre, S. (1993). Aprender de los errores. Escuela Española. España. pp. 116-195

Mancera, E. (1998). Errar es un placer. Iberoamérica, México.



[a] Profesor Investigador de la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo