Concepto de infinito
Resumen
El presente trabajo consiste en acercar a los alumnos y alumnas del nivel medio superior al concepto de infinito a través de diferentes enfoques, ya que es un concepto que se aplica en diferentes temas de su formación en el área de matemáticas.
Palabras clave: Triángulo, Inversos, Infinito.
Abstract
The present work is to approach the students of the high school level to the concept of infinity through different ways; it is a concept that applies in different themes of their training in the area of math.
Keywords: Triangle, Inverse, Infinite.
La palabra “infinito” está en la boca de la mayoría de la gente, la utilizamos para manifestar cuán grande es algo que sentimos, disfrutamos, sufrimos, gozamos, etcétera.
En el ámbito científico el concepto de infinito aparece en varias ramas de la matemática, la filosofía o la astronomía y se refiere a una cantidad que no tiene límite o final.
En este caso me voy a concentrar en los enfoques del concepto de infinito para tratar de acercar a los estudiantes a este concepto que se aplica en el área de matemáticas en el nivel medio superior.
La definición clásica que podemos encontrar en algún diccionario es la siguiente:
INFINITO, TA. adj. Que no tiene ni puede tener fin ni término. fig. Muy numeroso, grande y excesivo m. Mat. Signo en forma de un ocho tendido (∞) que sirve para expresar un valor mayor que cualquiera cantidad asignable. adv. m. Excesivamente, muchísimo. (Bolufer, 1967)
En el libro “Una Historia de las Matemáticas: Retos y Conquistas a través de sus Personajes”, cuyo autor Miguel Ángel Pérez, dedica un apartado al estudio que hizo Leibniz cuando el matemático holandés C. Huygens le había planteado un problema consistente en sumar los inversos de los números triangulares 1, 3, 6, 10. . . que aparecen en la diagonal del triángulo de Pascal
Leibniz resolvió el problema.
Este éxito llevó a Leibniz a estudiar las relaciones entre las fracciones de la unidad e inspirado en el triángulo aritmético construyó el siguiente triángulo llamado armónico:
Para obtener los elementos de este triángulo, se va cumpliendo que el enésimo elemento de cada fila es la diferencia entre el que tiene encima a la izquierda y el que tiene en su misma fila antes que él.
De la misma forma se puede descomponer cualquier otra fracción de la unidad como una serie infinita del tipo anterior.
Por tanto, esta propiedad permite formar series para cualquier fracción de la unidad y es muy útil a la hora de sumar muchas otras series como la anteriormente citada de los inversos de los números triangulares. De hecho, Leibniz entusiasmado por el descubrimiento, creyó en un principio que con este triángulo podría sumar cualquier serie de número racionales. Pronto se dio cuenta de que había sido demasiado optimista.
En la Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa vol. 4, núm. 3 de noviembre del 2001, Alberto Camacho y Mónica Aguirre publicaron el diseño de una situación didáctica del concepto de límite infinito.
Ellos hacen referencia de que los estudiantes manifiestan continuamente, concepciones poco confiables en la determinación algorítmica de expresiones en las que subyace la división por cero.
Presentan un análisis histórico del concepto de límite infinito. En la parte epistemológica señalan que en la enseñanza ha predominado, por varios siglos, el uso de una concepción equivocada del concepto de límite infinito el cual a pesar de ofrecer resultados inmediatos en expresiones de la forma
condiciona a los estudiantes a evitar transitar hacia la demostración formal del concepto y, en consecuencia, evadir su construcción.
En su apartado “Breve Historia de una Epistemología” incluyen una parte del tomo III de los “Elementa Geometríae” de Jaquier donde muestra una sucesión decreciente de términos que “convergen” a una cantidad infinitesimal en la forma:
La validación de la convergencia de la serie a una cantidad infinitesimal, se debe (en tanto Jaquier) al “Método de Newton de las primeras y últimas razones”:
“Del que a la fecha hay pocas lecciones [. . .] y el que sin duda ha devenido al método de exhausión” (Aguirre, 2001)
Como podemos darnos cuenta existen una infinidad de estudios realizados sobre el concepto de infinito.
Bibliografía
Aguirre, A. C. (2001). 4. (T. Learning, Editor, & Comité Latinoamericano de Matemática Educativa) Recuperado el 16 de Marzo de 2013
Bolufer, J. A. (1967). (S. A. Editorial Ramon Sopena, Editor) Recuperado el 16 de Marzo de 2013
Pérez, M. A. (2009). (E. V. Libros, Editor, & Google, Productor) Recuperado el 17 de Marzo de 2013, de:
http://books.google.com.mx/books?
[a]Profesor Escuela Preparatoria No. 3