En 1879, G. Frege había presentado el primer cálculo deductivo que luego le llamaría lógica de primer orden y de segundo orden. En 1910, B. Russell y G. Whitehead habían ofrecido un cálculo deductivo que no solo abarcaba la lógica de primer orden sino la teoría de los tipos. Para 1928, D. Hilbert y W. Ackermann plantearon un cálculo deductivo para la lógica de primer orden que no era sintácticamente completo en el sentido de que para cada fórmula; o bien ella o bien su negación fuera deducible con su ayuda. Una cuestión que podía plantearse era si este cálculo era semánticamente suficiente, es decir, si permitía deducir todas las fórmulas válidas. Sin embargo, en la obra de D. Hilbert y W. Ackermann (1928, pág. 68) manifestaron que no tenían respuesta para esta pregunta. En 1930, Kurt Gödel dio respuesta a esta pregunta de manera positiva, al demostrar que el cálculo de primer orden es lo suficientemente potente para deducir con su ayuda todas las fórmulas válidas.
teorema que el cálculo cuantificacional de primer orden es semánticamente suficiente. El enunciado de este famoso teorema de suficiencia semántica del cálculo lógico de primer orden dice “toda fórmula válida es deducible” (es decir, derivable con ayuda de los axiomas y las reglas de inferencia del cálculo). Para 1915, L. Löwenheim había probado que, si una fórmula es satisfacible en un modelo cualquiera, entonces es satisfacible en un modelo numerable. En 1920, T. Skolem generalizó este resultado para un conjunto cualquiera de fórmulas de primer orden. El teorema de Löwenheim-Skolem se puede desprender como corolario del teorema de suficiencia de K. Gödel. Otro corolario del teorema de suficiencia de Gödel es el teorema de compacidad.
En este trabajo presentamos una breve exposición sobre la lógica de primer orden con igualdad, cuyo principal resultado de estudio es el teorema de Löwenheim-Skolem. El material presentado en este trabajo puede ser estudiado a detalle en K. Gödel (1931), H. Enderton (2004), H. Leblanc, P. Roeper, M. Thau y G. Weaver (1991) y J. Mosterín (1981)
